DM Guidé Intégrale et fonction ln 090520

Partie A

  1. [peekaboo_link name= »questionA1″]Valeurs de u(1) et u(0)
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionA1″] u(1)=0  car le point A(1,0) appartient à la courbe de u et u(0)=4  car le point B(0,4) appartient à la courbe de u
    [/peekaboo_content]
  2. [peekaboo_link name= »questionA2″]Limite de u en +∞
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionA2″] La limite est égale à 1 car la droite D qui a pour équation y=1 est asymptote à la courbe de u en +∞
    [/peekaboo_content][peekaboo_link name= »questionA22″]Valeur de a[/peekaboo_link]
    [peekaboo_content name= »questionA22″] Il faut calculer la limite de u(x) puis dire que cette limite vaut 1, ce qui donne une information sur a.
    [/peekaboo_content]
  3. [peekaboo_link name= »questionA3″]Trouver l’expression de u(x) c’est-à-dire trouver les valeurs de b et c.
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionA3″] Traduire u(1)=0 et u(0)=4 à partir de u(x) ce qui donne deux équations d’inconnues b et c et donc  un système à résoudre.
    Remarque : b=-5 et c=4[/peekaboo_content]

Partie B

  1. [peekaboo_link name= »questionB1″]Limite de f en 0
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionB1″] Pour faire apparaitre xln(x), il faut réduire f(x) au même dénominateur
    [/peekaboo_content]
  2. [peekaboo_link name= »questionB2″]Limite de f en +∞
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionB2″] On tombe sur une F.I. (mettre x en facteur ce qui fait apparaitre \dfrac{\ln x}{x})
    [/peekaboo_content]
  3. [peekaboo_link name= »questionB3″]Signe de f'(x)
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionB3″] Remarque : si f'(x) = u(x) alors le signe de f'(x) est celui de u(x) donc d’après la courbe de u, f'(x) est positif si 0<x<1 et si x>4 et f'(x)<0 si 1<x<4.
    Le signe de f'(x) doit être trouvé par le calcul mais le graphique vous permet de vérifier vos résultats[/peekaboo_content]

Partie C

  1. [peekaboo_link name= »questionC1″]Aire n°1
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionC1″] Attention, la courbe est située sous l’axe des abscisses donc l’aire n’est pas égale à l’intégrale mais à l’opposé de l’intégrale.
    Sinon vous trouveriez une aire négative !
    \mathscr{A}=-\int_{1}^4 u(x) dx
    [/peekaboo_content]
  2. [peekaboo_link name= »questionC2″]Aire n°2
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionC2″] On s’intéresse à l’aire du domaine situé sous la courbe de u à partir du point B(x=4) et jusqu’au point de coordonnées (\lambda ; 0) et situé au dessus de l’axe des abscisses.
    [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »questionC22″]Aide  pour dernière question
    [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »questionC22″] \mathscr{A}_\lambda =\int_{4}^{\lambda} u(x) dx=f(\lambda)-f(4) car f est une primitive de u
    \mathscr{A} = \mathscr{A}_\lambda ssi f(\lambda)=-3
    Le problème revient à se poser la question suivante :
    d’après le tableau de variation de f, peut-on avoir une image qui prenne la valeur -3 ?
    [/peekaboo_content]