{"id":694,"date":"2014-11-02T09:52:57","date_gmt":"2014-11-02T08:52:57","guid":{"rendered":"http:\/\/www.unimath.fr\/?p=694"},"modified":"2018-02-17T20:41:49","modified_gmt":"2018-02-17T19:41:49","slug":"dm-guide","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.unimath.fr\/?p=694","title":{"rendered":"DM Suites guid\u00e9 n\u00b01"},"content":{"rendered":"

Soit \\left(u_{n}\\right) la suite d\u00e9finie par u_{0} = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par : u_{n+1} = \\dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}<\/p>\n

Si f est la fonction d\u00e9finie sur l’intervalle ]- 2~;~+ \\infty[ par f(x) = \\dfrac{4x - 1}{x + 2},\u00a0alors on a, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1} = f\\left(u_{n}\\right).<\/p>\n

On donne \u00a0une partie de la courbe repr\u00e9sentative \\mathcal{C} de la fonction f ainsi que la droite \\Delta d’\u00e9quation y = x.\"cpirbe<\/p>\n

    \n
  1. a. Sur l’axe des abscisses, placer u_{0} puis construire u_{1} u_{2} et u_{3} en laissant apparents les traits de construction.
    \nb. Quelles conjectures peut-on \u00e9mettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite \\left(u_{n}\\right) ?<\/li>\n
  2. a. D\u00e9montrer par r\u00e9currence que, pour tout nombre entier naturel n, on a u_{n} - 1 > 0.
    \n[peekaboo_link name=\u00a0\u00bbaide2a\u00a0\u00bb]Aide<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbaide2a\u00a0\u00bb] M\u00e9thode 1 :\u00a0<\/strong>R\u00e9duire u_{n+1}-1 au m\u00eame d\u00e9nominateur et utiliser \u00a0u_{n}-1>0 pour montrer que u_{n+1}-1>0
    \nM\u00e9thode 2<\/strong>\u00a0: Montrer par r\u00e9currence que u_{n} \\geqslant 1 pour \u00a0tout\u00a0n puis\u00a0utiliser les variations de la fonction \u00a0f\u00a0apr\u00e8s avoir fait l’\u00e9tude des variations de \u00a0f.\u00a0[\/peekaboo_content]
    \n[peekaboo_link\u00a0name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse2a\u00a0\u00bb]R\u00e9ponse partielle<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse2a\u00a0\u00bb] u_{n+1}-1=\\dfrac{3(u_{n}-1)}{u_{n}+2} [\/peekaboo_content]
    \nb. Dans cette question, toute trace de recherche, m\u00eame incompl\u00e8te, ou d’initiative m\u00eame non fructueuse, sera prise en compte dans l’\u00e9valuatio<\/em>n.
    \nValider par une d\u00e9monstration les conjectures \u00e9mises \u00e0 la question 1. b.
    \n[peekaboo_link name=\u00a0\u00bbaide2b\u00a0\u00bb]Aide pour variation de (u_{n})<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbaide2b\u00a0\u00bb] M\u00e9thode 1<\/strong> : Chercher le signe de\u00a0\u00a0u_{n+1}-u_{n}
    \nPour cela,\u00a0r\u00e9duire au m\u00eame d\u00e9nominateur
    \nAstuce : Reconna\u00eetre une identit\u00e9 remarquable (sinon chercher le signe d’un trin\u00f4me)
    \nM\u00e9thode 2<\/strong> : Montrer par r\u00e9currence que u_{n+1} \\geqslant u_{n} pour \u00a0tout\u00a0n.
    \nOn utilisera les variations de la fonction \u00a0f\u00a0apr\u00e8s avoir fait l’\u00e9tude des variations de \u00a0f.\u00a0[\/peekaboo_content]<\/span><\/li>\n
  3. [peekaboo_link\u00a0name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse2b\u00a0\u00bb]Aide pour limite de\u00a0u_{n}<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse2b\u00a0\u00bb]
    \nPartir de l’\u00e9galit\u00e9 u_{n+1} = \\dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2} puis passer \u00e0 la limite[\/peekaboo_content]<\/li>\n
  4. Dans cette question, on se propose d’\u00e9tudier la suite \\left(u_{n}\\right) par une autre m\u00e9thode, en d\u00e9terminant une expression de u_{n} en fonction de n.
    \nPour tout nombre entier naturel n, on pose v_{n} = \\dfrac{1}{u_{n} - 1}.
    \na. D\u00e9montrer que la suite \\left(v_{n}\\right) est une suite arithm\u00e9tique de raison \\dfrac{1}{3}.
    \n[peekaboo_link name=\u00a0\u00bbaide1″]Aide 1<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbaide1″] Montrer que\u00a0\u00a0v_{n+1}-v_{n}=\\dfrac{1}{3} [\/peekaboo_content]
    \n[peekaboo_link\u00a0name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse1″]Aide 2<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse1″] A partir de l’\u00e9nonc\u00e9, \u00a0exprimer v_{n+1}\u00a0en fonction de \u00a0u_{n}.
    \nR\u00e9duire au m\u00eame d\u00e9nominateur v_{n+1}-v_{n}.
    \nSimplifier [\/peekaboo_content]
    \n[peekaboo_link\u00a0name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse11″]<\/span>R\u00e9ponse partielle<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n<\/span>[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse11″] On obtient \u00a0v_{n+1}=\\dfrac{u_{n}+2}{3u_{n}-3}\u00a0[\/peekaboo_content]
    \n<\/span>b. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer v_{n} puis u_{n} en fonction de n.
    \n[peekaboo_link name=\u00a0\u00bbaide2″]Aide 1<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbaide2″] (v_{n}) est arithm\u00e9tique donc v_{n}=v_{0}+nr [\/peekaboo_content]
    \n[peekaboo_link\u00a0name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse2″]R\u00e9ponse<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse2″] v_{n}=\\dfrac{1}{4} + \\dfrac{n}{3} [\/peekaboo_content]
    \n[peekaboo_link name=\u00a0\u00bbaide22″]Aide 2<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbaide22″] A partir de\u00a0v_{n}=\\dfrac{1}{u_{n}-1} \u00a0exprimer\u00a0u_{n} en fonction de v_{n} [\/peekaboo_content]
    \n[peekaboo_link\u00a0name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse22″]R\u00e9ponse partielle<\/span>[\/peekaboo_link]
    \n[peekaboo_content name=\u00a0\u00bbr\u00e9ponse22″]\u00a0u_{n}=\\dfrac{1}{v_n} +1 \u00a0 \u00a0[\/peekaboo_content]
    \nc. En d\u00e9duire la limite de la suite \\left(u_{n}\\right).<\/li>\n<\/ol>\n

     <\/p>\n

    Correction :\u00a0Cliquer ici<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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