DM Guidé Dérivée et variations – Math’x 1S – n°49 p 119

Montrer que $r^2=36-h^2$
Aide 1
On applique le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. Rappel : la sphère a pour rayon 6

Aide 2
On prend comme triangle rectangle un carré bleu coupé en diagonale
Intervalle pour h
Réponse
[0 ; 6] car la hauteur ne peut pas être supérieure au rayon de la sphère
a. Volume du cylindre
Rappel : formule
Aire de la base $\times$ hauteur

b. Dimensions du cylindre de volume maximal
Aide 1
Il faut donc déterminer les variations de la fonction V

Aide 2
Pour calculer la dérivée, on se rappelle que le nombre $\pi$ est une constante

Réponse
La dérivée de V donne $-3\pi h^2+36\pi$

Signe de la dérivée
On reconnaît un trinôme du second degré en $h$ (on peut mettre $3\pi$ en facteur pour simplifier) (trinôme du second degré « incomplet », inutile de calculer le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines)

Variations de V
Les racines du trinôme sont $2\sqrt{3}$ et $-2\sqrt{3}$ . La fonction V est croissante de 0 à $2\sqrt{3}$ puis décroissante ensuite donc l’aire est maximale pour $h=2\sqrt{3}$ cm

Volume maximal
Calculer $V(2\sqrt{3})$ .

Réponse
Le volume maximal vaut $48 \pi \sqrt{3} ~~cm^3$

Calcul du rayon du cylindre
On calcule le rayon $r$ d’après $r^2=36-h^2$

Réponse
$r=2\sqrt{6}$ cm donc les dimensions du cylindre qui donne le volume maximal sont : hauteur $2\sqrt{3}$ cm et rayon $r=2\sqrt{6}$ cm