DM Guidé Dérivée et variations – Math’x 1S – n°49 p 119

 

  1. Montrer que r^2=36-h^2
    [peekaboo_link name= »question1″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″]On applique le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. Rappel : la sphère a pour rayon 6[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question2″]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″]On prend comme triangle rectangle un carré bleu coupé en diagonale[/peekaboo_content]
  2. Intervalle pour h
    [peekaboo_link name= »question3b »]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »][0 ; 6] car la hauteur ne peut pas être supérieure au rayon de la sphère[/peekaboo_content]
  3. a. Volume du cylindre
    [peekaboo_link name= »question4″]Rappel : formule[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″]Aire de la base \times hauteur [/peekaboo_content]
    b. Dimensions du cylindre de volume maximal
    [peekaboo_link name= »question4b »]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »]Il faut donc déterminer les variations de la fonction V [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question4c »]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »]Pour calculer la dérivée, on se rappelle que le nombre \pi est une constante[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question5″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]La dérivée de V donne -3\pi h^2+36\pi[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question6″]Signe de la dérivée[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″]On reconnaît un trinôme du second degré en h (on peut mettre 3\pi en facteur pour simplifier) (trinôme du second degré « incomplet », inutile de calculer le discriminant \Delta pour trouver les racines) [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question9″]Variations de V[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″]Les racines du trinôme sont 2\sqrt{3} et  -2\sqrt{3}. La fonction V est croissante de 0 à 2\sqrt{3} puis décroissante ensuite donc l’aire est maximale pour   h=2\sqrt{3} cm[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question10″]Volume maximal[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″]Calculer V(2\sqrt{3}).[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question11″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″]Le volume maximal vaut 48 \pi \sqrt{3} ~~cm^3[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question12″]Calcul du rayon du cylindre[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question12″]On calcule le rayon r d’après r^2=36-h^2[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question13″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question13″] r=2\sqrt{6} cm donc les dimensions du cylindre qui donne le volume maximal sont : hauteur 2\sqrt{3} cm et rayon r=2\sqrt{6} cm [/peekaboo_content]