DM Guidé Dérivation et variations – Math’x 1S – n°46 p 119

Coordonnées de A et B, points d’intersection de la parabole et de la droite $u_2$
Aide
On résout $x^2=k$

Réponse
A $(- \sqrt{k} ; k)$ et B $( \sqrt{k} ; k)$
a. Calcul de $A_{k}(x)$
Longueur CC’
L’abscisse de C est $x >0$ et l’abscisse de C’ est $-x$ donc CC’ = $2x$

Longueur CM
Coordonnées de M
M appartient à la parabole et l’abscisse de M est $x$ donc M ( $x$ ; $x ^2$ )

Réponse longueur CM
$CM = k - x^2$

Expression de $A_{k}(x)$
$A_{k}(x)=-2x^3+2kx$ avec $x \in [0 ; \sqrt{k}]$

b. Variation de $A_{k}$ sur $[0 ; \sqrt{k}]$
Dérivée
$-6x^2+2k$

Signe de la dérivée
On cherche le signe de $-6x^2+2k$ (trinôme du second degré « incomplet », on factorise par $x$ pour trouver les racines)

variations
La fonction est croissante de 0 à $\sqrt{\frac{k}{3}}$ puis décroissante ensuite donc l’aire est maximale pour $x=\sqrt{\frac{k}{3}}$

c. Point C associé à l’aire maximale
C a pour coordonnées ( $\sqrt{\frac{k}{3}}$ ; $k$ )

Aide
Calculer $3x_{C}^2$ . Que constatez-vous ?

Réponse
Les coordonnées de C vérifient l’équation $3x^2=y$ donc les points C appartiennent à la parabole d’équation $y=3x^2$