DM Guidé Dérivation et variations – Math’x 1S – n°46 p 119

 

  1. Coordonnées de A et B, points d’intersection de la parabole et de la droite u_2
    [peekaboo_link name= »question1″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] On résout x^2=k[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question2″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″] A (- \sqrt{k} ; k) et B ( \sqrt{k} ; k)[/peekaboo_content]
  2. a. Calcul de A_{k}(x)
    [peekaboo_link name= »question3b »]Longueur CC'[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »]L’abscisse de C est x >0 et l’abscisse de C’ est -x donc CC’ = 2x [/peekaboo_content]
    Longueur CM
    [peekaboo_link name= »question4″]Coordonnées de M[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″]M appartient à la parabole et l’abscisse de M est x donc M (x ; x ^2)[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question4b »]Réponse longueur CM[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »]CM = k - x^2[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question4c »]Expression de  A_{k}(x)[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »]A_{k}(x)=-2x^3+2kx avec x \in [0 ; \sqrt{k}] [/peekaboo_content]
    b. Variation de A_{k} sur [0 ; \sqrt{k}]
    [peekaboo_link name= »question5″]Dérivée[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]-6x^2+2k[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question6″]Signe de la dérivée[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″]On cherche le signe de -6x^2+2k (trinôme du second degré « incomplet », on factorise par x pour trouver les racines) [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question8″]variations[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question8″]La fonction est croissante de 0 à  \sqrt{\frac{k}{3}} puis décroissante ensuite donc l’aire est maximale pour  x=\sqrt{\frac{k}{3}} [/peekaboo_content]
    c. [peekaboo_link name= »question9″]Point C associé à l’aire maximale[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″] C a pour coordonnées ( \sqrt{\frac{k}{3}} ;  k) [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question10″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″]Calculer 3x_{C}^2. Que constatez-vous ?[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question11″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″] Les coordonnées de C vérifient l’équation 3x^2=y donc les points C appartiennent à la parabole d’équation y=3x^2 [/peekaboo_content]