DM guidé Nombres complexes 3

Sujet : Cliquer ici

Forme exponentielle
Réponse
$\frac{\sqrt{3}}{2} e^{i \frac{\pi}{6}}$
a. Preuve suite géométrique
Aide
$r_{n+1}$ est le module de $z_{n+1}$ puis utiliser la propriété des modules qui consiste à séparer en deux modules quand il y a multiplication

b. Expression en fonction de n
Aide
Formule classique du cours sur les suites géométriques

Réponse
$r_n = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$

c. Distance $OA_n$
Aide
Traduire cette distance en terme de module

Aide 2
Revoir le cours pour limite de $q^n$

Réponse
La limite étant égale à 0, que peut-on en déduire pour le point $A_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Algorithme
a. Valeur affichée

n = 5

b. Rôle de l’algorithme ?
Réponse
Il affiche le plus petit entier n tel que $r_n \leqslant P$
a. Montrer que le triangle est rectangle
Méthode 1
On peut montrer que l’angle $(\overrightarrow{A_{n+1}O}, \overrightarrow{A_{n+1}A_{n}}$ ) est égal à $\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{-\pi}{2}$ en utilisant les arguments

Méthode 2
On peut calculer les distances grâce aux modules et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore

b. Valeurs de n pour lesquelles $A_n$ est un point de l’axe des ordonnées
Aide
Le point appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si $z_n$ a pour argument $\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{-\pi}{2}$ modulo $2\pi$ ce qui peut se traduire par argument égal à $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$ c’est-à-dire $\frac{\pi}{2} + k \pi$ avec $k \in Z$

Réponse
n = 3 + 6k avec k entier naturel car n positif

c. Construction.
Aide 1
Remarquer que $A_6$ appartient à l’axe des abscisses et pour les autres points se rappeler que si ABC est rectangle en C alors C appartient au cercle de diamètre [BC].

Aide 2
Utiliser les angles déjà construits sur la figure et penser à prolonger des droites

Correction : cliquer ici