Exercice à trous : Orthogonalité dans l’espace

exercice-trous-tetraedre

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OABC est un tétraèdre.
Les triangles AOB, AOC et BOC sont rectangles en O.
I est le projeté orthogonal de O sur (BC)
et H celui de O sur (AI).

Question 1 : Montrer que (AI) est une hauteur du triangle ABC.
Première étape : D’après l’énoncé, on a : (OA) orthogonale aux deux droites  [peekaboo_link name= »question1″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″](OB) et (OC) [/peekaboo_content]donc (OA) est orthogonale à deux [peekaboo_link name= »question3″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″]droites sécantes [/peekaboo_content] du plan (OBC) donc (OA) est orthogonale au plan [peekaboo_link name= »question4″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″] (OBC) [/peekaboo_content]On en déduit donc que (OA) est [peekaboo_link name= »question5″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]orthogonale [/peekaboo_content] à (BC) car [peekaboo_link name= »question6″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″](OA) est orthogonale au plan (OBC) et donc orthogonale à toute droite de ce plan [/peekaboo_content]

Deuxième étape : D’après l’énoncé, (BC) et (OI) sont [peekaboo_link name= »question7″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question7″]orthogonales (ou perpendiculaires car sécantes)  [/peekaboo_content] donc (BC) est orthogonale aux deux droites (OI) et (OA)  donc (BC) est orthogonale au plan [peekaboo_link name= »question10″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″](OAI) [/peekaboo_content] car [peekaboo_link name= »question11″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″](BC) est othogonale à (OI) et (OA) qui sont deux droites sécantes du plan (OAI) [/peekaboo_content]

Conclusion : (BC) est orthogonale au plan (OAI)  et donc [peekaboo_link name= »question15″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question15″]orthogonale [/peekaboo_content] à toute [peekaboo_link name= »question16″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question16″]droite [/peekaboo_content] de ce plan.
On en déduit donc que [peekaboo_link name= »question17″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question17″](BC) est orthogonale à la droite (AI) ce qui prouve que (AI) est une hauteur du triangle ABC [/peekaboo_content]

Question 2 : Montrer que (OH) est perpendiculaire au plan (ABC).
Pour cela, on va montrer que (OH) est orthogonale à [peekaboo_link name= »question18″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question18″]deux droites sécantes du plan (ABC) [/peekaboo_content]

D’après l’énoncé, la droite (OH) est orthogonale à la droite [peekaboo_link name= »question19″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question19″](AI) [/peekaboo_content]
On a démontré que la droite (BC) était orthogonale au plan (OAI) donc orthogonale à toute [peekaboo_link name= »question22″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question22″]droite de ce plan [/peekaboo_content]et donc (BC) est orthogonale à la droite [peekaboo_link name= »question23″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question23″](OH) [/peekaboo_content]
Conclusion : la droite (OH) est orthogonale à la droite (BC) et à la droite (AI) et donc (OH) est orthogonale au plan (ABC) car [peekaboo_link name= »question27″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question27″](OH) est orthogonale à (BC) et (AI) qui sont deux droites sécantes du plan (ABC) [/peekaboo_content]