Exercice à trous : Orthogonalité dans l’espace

exercice-trous-tetraedre

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OABC est un tétraèdre.
Les triangles AOB, AOC et BOC sont rectangles en O.
I est le projeté orthogonal de O sur (BC)
et H celui de O sur (AI).

Question 1 : Montrer que (AI) est une hauteur du triangle ABC.
Première étape : D’après l’énoncé, on a : (OA) orthogonale aux deux droites  

donc (OA) est orthogonale à deux  du plan (OBC) donc (OA) est orthogonale au plan On en déduit donc que (OA) est à (BC) car

Deuxième étape : D’après l’énoncé, (BC) et (OI) sont

donc (BC) est orthogonale aux deux droites (OI) et (OA)  donc (BC) est orthogonale au plan  car 

Conclusion : (BC) est orthogonale au plan (OAI)  et donc

 à toute de ce plan.
On en déduit donc que

Question 2 : Montrer que (OH) est perpendiculaire au plan (ABC).
Pour cela, on va montrer que (OH) est orthogonale à

D’après l’énoncé, la droite (OH) est orthogonale à la droite


On a démontré que la droite (BC) était orthogonale au plan (OAI) donc orthogonale à toute et donc (BC) est orthogonale à la droite
Conclusion : la droite (OH) est orthogonale à la droite (BC) et à la droite (AI) et donc (OH) est orthogonale au plan (ABC) car