DM Suites guidé n°1

Soit \left(u_{n}\right) la suite définie par u_{0} = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par : u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}

Si f est la fonction définie sur l’intervalle ]- 2~;~+ \infty[ par f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}, alors on a, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).

On donne  une partie de la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f ainsi que la droite \Delta d’équation y = x.cpirbe DM suites

  1. a. Sur l’axe des abscisses, placer u_{0} puis construire u_{1} u_{2} et u_{3} en laissant apparents les traits de construction.
    b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite \left(u_{n}\right) ?
  2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a u_{n} - 1 > 0.
    Aide

    Réponse partielle

    b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
    Aide pour variation de (u_{n})
  3. Aide pour limite de u_{n}
  4. Dans cette question, on se propose d’étudier la suite \left(u_{n}\right) par une autre méthode, en déterminant une expression de u_{n} en fonction de n.
    Pour tout nombre entier naturel n, on pose v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}.
    a. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite arithmétique de raison \dfrac{1}{3}.
    Aide 1

    Aide 2

    Réponse partielle

    b. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer v_{n} puis u_{n} en fonction de n.
    Aide 1

    Réponse

    Aide 2

    Réponse partielle

    c. En déduire la limite de la suite \left(u_{n}\right).

 

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