Soit la suite définie par
et pour tout nombre entier naturel
, par :
Si est la fonction définie sur l’intervalle
par
, alors on a, pour tout nombre entier naturel
,
.
On donne une partie de la courbe représentative de la fonction
ainsi que la droite
d’équation
.
- a. Sur l’axe des abscisses, placer
puis construire
et
en laissant apparents les traits de construction.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite?
- a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel
, on a
[peekaboo_link name= »aide2a »]Aide[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide2a »] Méthode 1 : Réduireau même dénominateur et utiliser
pour montrer que
Méthode 2 : Montrer par récurrence quepour tout
puis utiliser les variations de la fonction
après avoir fait l’étude des variations de
. [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse2a »]Réponse partielle[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse2a »][/peekaboo_content]
b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
[peekaboo_link name= »aide2b »]Aide pour variation de[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide2b »] Méthode 1 : Chercher le signe de
Pour cela, réduire au même dénominateur
Astuce : Reconnaître une identité remarquable (sinon chercher le signe d’un trinôme)
Méthode 2 : Montrer par récurrence quepour tout
.
On utilisera les variations de la fonctionaprès avoir fait l’étude des variations de
. [/peekaboo_content]
- [peekaboo_link name= »réponse2b »]Aide pour limite de
[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse2b »]
Partir de l’égalitépuis passer à la limite[/peekaboo_content]
- Dans cette question, on se propose d’étudier la suite
par une autre méthode, en déterminant une expression de
en fonction de
.
Pour tout nombre entier naturel, on pose
.
a. Démontrer que la suiteest une suite arithmétique de raison
.
[peekaboo_link name= »aide1″]Aide 1[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide1″] Montrer que[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse1″]Aide 2[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse1″] A partir de l’énoncé, exprimeren fonction de
.
Réduire au même dénominateur.
Simplifier [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse11″]Réponse partielle[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse11″] On obtient[/peekaboo_content]
b. Pour tout nombre entier naturel, exprimer
puis
en fonction de
.
[peekaboo_link name= »aide2″]Aide 1[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide2″]est arithmétique donc
[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse2″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse2″][/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »aide22″]Aide 2[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide22″] A partir deexprimer
en fonction de
[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse22″]Réponse partielle[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse22″][/peekaboo_content]
c. En déduire la limite de la suite.
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