DM Suites guidé n°1

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$ , par : $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$

Si $f$ est la fonction définie sur l’intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$ , alors on a, pour tout nombre entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ .

On donne une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d’équation $y = x$ . cpirbe DM suites

a. Sur l’axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1}$ $u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a $u_{n} - 1 > 0.$
Aide

Méthode 1 : Réduire $u_{n+1}-1$ au même dénominateur et utiliser $u_{n}-1>0$ pour montrer que $u_{n+1}-1>0$
Méthode 2 : Montrer par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n$ puis utiliser les variations de la fonction $f$ après avoir fait l’étude des variations de $f$ .

Réponse partielle

$u_{n+1}-1=\dfrac{3(u_{n}-1)}{u_{n}+2}$

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
Aide pour variation de $(u_{n})$

Méthode 1 : Chercher le signe de $u_{n+1}-u_{n}$
Pour cela, réduire au même dénominateur
Astuce : Reconnaître une identité remarquable (sinon chercher le signe d’un trinôme)
Méthode 2 : Montrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant u_{n}$ pour tout $n$ .
On utilisera les variations de la fonction $f$ après avoir fait l’étude des variations de $f$ .
Aide pour limite de $u_{n}$

Partir de l’égalité $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$ puis passer à la limite
Dans cette question, on se propose d’étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Pour tout nombre entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$ .
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$ .
Aide 1

Montrer que $v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{1}{3}$

Aide 2

A partir de l’énoncé, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ .
Réduire au même dénominateur $v_{n+1}-v_{n}$ .
Simplifier

Réponse partielle

On obtient $v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+2}{3u_{n}-3}$

b. Pour tout nombre entier naturel $n$ , exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Aide 1

$(v_{n})$ est arithmétique donc $v_{n}=v_{0}+nr$

Réponse

$v_{n}=\dfrac{1}{4} + \dfrac{n}{3}$

Aide 2

A partir de $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}-1}$ exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$

Réponse partielle

$u_{n}=\dfrac{1}{v_n} +1$

c. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

Correction : Cliquer ici

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