DM guidé Suites n°2 (algorithme)

Partie 1
On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
$n$ un entier naturel.
Initialisation :
affecter à $u$ la valeur 1
affecter à $S$ la valeur 1
affecter à $i$ la valeur 0.
Traitement :
tant que $i < n$
affecter à $u$ la valeur $2u + 1 - i$
affecter à $S$ la valeur $S + u$
affecter à $i$ la valeur $i + 1$ .
fin du tant que
Sortie :
afficher $u$
afficher $S$ .

Pour $n = 5$ , quelles sont les valeurs de $u$ et $S$ affichées ?

Partie 2
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
$u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 2u_{n} + 1 - n$ et la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur N par : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$ .

Pour un entier naturel $n$ donné, que représentent les valeurs affichées par l’algorithme de la partie 1 ?
Vérification
Au 3ème passage de la boucle, on obtient u=11et S=21
Le but de cette question est d’exprimer en fonction de .
- Recopier et compléter le tableau suivant (pour $n$ allant de 0 à 5) :
  Vérification
  pour n=3, on a u=11
- Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau ?
  Aide
  Les termes peuvent s’écrire comme une puissance d’un même nombre
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n} = 2^n + n$ .
Le but de cette question est de calculer en fonction de et d’utiliser un résultat de la première partie pour contrôler l’exactitude de ce calcul.
- Exprimer en fonction de $n$ les sommes : $1 + 2 +\cdots+ n$ et $1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n$
  Aide
  $1 + 2 +\cdots+ n$ est la somme des termes d’une suite arithmétique
  et $1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n$ est la somme des termes d’une suite géométrique
- En déduire une expression de $S_{n}$ en fonction de $n$ .
  Aide
  Remplacer chaque terme de la somme par son expression puis faire des regroupements pour faire apparaître les sommes précédentes.
- Vérifier le résultat obtenu dans la première partie pour $n = 5$ .
  Aide
  On doit trouver $S_5=78$ comme dans la partie 1

Correction : Cliquer ici

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