DM guidé Suites n°2 (algorithme)

 

Partie 1
On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
n un entier naturel.
Initialisation :
affecter à u la valeur 1
affecter à S la valeur 1
affecter à i la valeur 0.
Traitement :
tant que i < n
affecter à u la valeur 2u + 1 - i
affecter à S la valeur S + u
affecter à i la valeur i + 1.
fin du tant que
Sortie :
afficher u
afficher S.

Pour n = 5, quelles sont les valeurs de u et S affichées ?

Partie 2
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par :
u_{0} = 1 et, pour tout entier naturel n, u_{n + 1} = 2u_{n} + 1 - n et la suite \left(S_{n}\right) définie sur N par : S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.

  1. Pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs affichées par l’algorithme de la partie 1 ?
    Vérification
  2. Le but de cette question est d’exprimer u_{n} en fonction de n.
    • Recopier et compléter le tableau suivant (pour n allant de 0 à 5) :
      tableau DM algorithmeVérification
    • Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau ?
      Aide
    • Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,~u_{n} = 2^n + n.
  3. Le but de cette question est de calculer S_{n} en fonction de n et d’utiliser un résultat de la première partie pour contrôler l’exactitude de ce calcul.
    • Exprimer en fonction de n les sommes : 1 + 2 +\cdots+ n et 1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n
      Aide
    • En déduire une expression de S_{n} en fonction de n.
      Aide
    • Vérifier le résultat obtenu dans la première partie pour n = 5.
      Aide

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