DM guidé Suites n°2 (algorithme)

 

Partie 1
On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
n un entier naturel.
Initialisation :
affecter à u la valeur 1
affecter à S la valeur 1
affecter à i la valeur 0.
Traitement :
tant que i < n
affecter à u la valeur 2u + 1 - i
affecter à S la valeur S + u
affecter à i la valeur i + 1.
fin du tant que
Sortie :
afficher u
afficher S.

Pour n = 5, quelles sont les valeurs de u et S affichées ?

Partie 2
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par :
u_{0} = 1 et, pour tout entier naturel n, u_{n + 1} = 2u_{n} + 1 - n et la suite \left(S_{n}\right) définie sur N par : S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.

  1. Pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs affichées par l’algorithme de la partie 1 ?
    [peekaboo_link name= »aide1″] Vérification [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide1″] Au 3ème passage de la boucle, on obtient u=11et S=21[/peekaboo_content]
  2. Le but de cette question est d’exprimer u_{n} en fonction de n.
    • Recopier et compléter le tableau suivant (pour n allant de 0 à 5) :
      tableau DM algorithme[peekaboo_link name= »aide2″]Vérification [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide2″] pour n=3, on a u=11[/peekaboo_content]
    • Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau ?
      [peekaboo_link name= »aide3″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide3″] Les termes peuvent s’écrire comme une puissance d’un même nombre [/peekaboo_content]
    • Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,~u_{n} = 2^n + n.
  3. Le but de cette question est de calculer S_{n} en fonction de n et d’utiliser un résultat de la première partie pour contrôler l’exactitude de ce calcul.
    • Exprimer en fonction de n les sommes : 1 + 2 +\cdots+ n et 1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n
      [peekaboo_link name= »aide4″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide4″] 1 + 2 +\cdots+ n est la somme des termes d’une suite arithmétique
      et 1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n est la somme des termes d’une suite géométrique [/peekaboo_content]
    • En déduire une expression de S_{n} en fonction de n.
      [peekaboo_link name= »aide5″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide5″] Remplacer chaque terme de la somme par son expression puis faire des regroupements pour faire apparaître les sommes précédentes. [/peekaboo_content]
    • Vérifier le résultat obtenu dans la première partie pour n = 5.
      [peekaboo_link name= »aide6″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide6″] On doit trouver S_5=78 comme dans la partie 1 [/peekaboo_content]

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