Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = (1 - x)\text{e}^x.

  1. On note \mathcal{C}_{f} la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé .
  2. Donner les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
    En déduire que $latex f $ admet une asymptote \Delta au voisinage de - \infty dont on donnera une équation.
  3. Déterminer f'(x)
    Donner le tableau des variations de f.
    Déterminer une équation de la tangente T_{1} au point A d’abscisse 1 de la courbe \mathcal{C}_{f} et une
    équation de la tangente T_{-1} au point B d’abscisse -1.
    Expliquer pourquoi l’on peut affirmer que les tangentes T_{1} et  T_{-1} sont perpendiculaires.
  4. On se propose d’étudier la position de \mathcal{C}_{f} par rapport à T_{-1}.
  5. Pour cela, on considère la fonction g définie sur R par :
    g(x) = (1 - x)\text{e}^x - \left(\dfrac{x + 3}{\text{e}}\right)
  6. Déterminer g'(x) et  où  g’ et  g » sont les dérivées première et seconde de g.
    Étudier le signe de $latex g$ et le sens de variation de g’. Préciser la valeur de g'(-1).
  7. Étudier le signe de g’ et le sens de variation de g. Préciser la valeur de g(-1).
  8. Enfin donner le signe de g.
    Indiquer alors la position de la courbe \mathcal{C}_{f} par rapport à la tangente T_{-1}.