DM Guidé Suites n°3

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  1. Calcul de u_2
    [peekaboo_link name= »question1″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] u_2=\frac{3}{4}[/peekaboo_content]
    En déduire que la suite n’est pas arithmétique
    [peekaboo_link name= »question2″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″]A partir des trois termes u_0, u_1, u_2, on peut démontrer qu’elle n’est pas arithmétique car u_2-u_1 \neq u_1-u_0. Par contre, il ne suffit pas de regarder trois termes pour démontrer qu’elle est arithmétique ![/peekaboo_content]
    En déduire que la suite n’est pas géométrique
    [peekaboo_link name= »question3″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″] Même remarque que précédemment avec ici \frac{u_2}{u_1} \neq \frac{u_1}{u_0}[/peekaboo_content]
  2. a. Calcul de v_0
    [peekaboo_link name= »question3b »]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »]v_0=1 [/peekaboo_content]
    b. Expression de v_{n+1} en fonction de v_n
    [peekaboo_link name= »question4″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″]v_{n+1}=u_{n+2}-\frac{1}{2}u_{n+1}[/peekaboo_content]
    c. En déduire que la suite (v_n) est géométrique
    [peekaboo_link name= »question4b »]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »] Le calcul précédent nous a donné v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n donc suite géométrique de raison 1/2[/peekaboo_content]
    d. Expression de v_n en fonction de n
    [peekaboo_link name= »question4c »]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »]v_n=v_0 \times q^n=\left(\frac{1}{2}\right)^n [/peekaboo_content]
  3. a. Calcul de w_0
    [peekaboo_link name= »question5″]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]w_{0}=-1 [/peekaboo_content]
    b. Expression de w_{n+1} en fonction de u_n et v_n
    [peekaboo_link name= »question6″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″]  w_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} avec u_{n+1}=v_n+\frac{1}{2}u_n (d’après l’énoncé) et v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n[/peekaboo_content]
    c. En déduire que w_{n+1}=w_n+2
    [peekaboo_link name= »question8″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question8″]  On peut utiliser \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} pour montrer que w_{n+1}=w_n+2[/peekaboo_content]
    d. Expression de w_n en fonction de n
    [peekaboo_link name= »question9″]Aide1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″] (w_{n}) est arithmétique de raison 2[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question10″]Aide2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″] donc w_{n}=w_0+nr car suite  arithmétique de raison 2[/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question11″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″] w_{n}=-1+2n [/peekaboo_content]
  4. Montrer que pour tout entier naturel n, u_n=\frac{2n-1}{2^n}
    [peekaboo_link name= »question12″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question12″] Utiliser w_{n}=\frac{u_n}{v_n} puis exprimer u_n en fonction de v_n et w_n (par produit en croix !) puis remplacer   v_n et w_n par leur expression trouvée en 2.d et 3.d[/peekaboo_content]
  5. Démonstration par récurrence
    [peekaboo_link name= »question13″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question13″] Exprimer S_{n+1} en fonction de S_n pour montrer l’hérédité [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question14″]Aide 2 [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question14″] Utiliser S_{n+1}=S_n+u_{n+1} [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question15″]Aide 3[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question15″] Utiliser u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}} [/peekaboo_content]
    [peekaboo_link name= »question16″]Aide 4[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question16″] Utiliser 2^{n+1}=2^n \times 2 donc mettre les deux fractions sur 2^{n+1} puis réduire en une fraction (attention aux signes !) [/peekaboo_content]