DM Guidé Suites n°3

Sujet : Cliquer ici

Correction : Cliquer ici

Calcul de $u_2$
Réponse
$u_2=\frac{3}{4}$

En déduire que la suite n’est pas arithmétique
Aide
A partir des trois termes $u_0, u_1, u_2$ , on peut démontrer qu’elle n’est pas arithmétique car $u_2-u_1 \neq u_1-u_0$ . Par contre, il ne suffit pas de regarder trois termes pour démontrer qu’elle est arithmétique !

En déduire que la suite n’est pas géométrique
Aide
Même remarque que précédemment avec ici $\frac{u_2}{u_1} \neq \frac{u_1}{u_0}$
a. Calcul de $v_0$
Réponse
$v_0=1$

b. Expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$
Aide
$v_{n+1}=u_{n+2}-\frac{1}{2}u_{n+1}$

c. En déduire que la suite $(v_n)$ est géométrique
Réponse
Le calcul précédent nous a donné $v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n$ donc suite géométrique de raison 1/2

d. Expression de $v_n$ en fonction de n
Réponse
$v_n=v_0 \times q^n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$
a. Calcul de $w_0$
Réponse
$w_{0}=-1$

b. Expression de $w_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$
Aide
$w_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$ avec $u_{n+1}=v_n+\frac{1}{2}u_n$ (d’après l’énoncé) et $v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n$

c. En déduire que $w_{n+1}=w_n+2$
Aide
On peut utiliser $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$ pour montrer que $w_{n+1}=w_n+2$

d. Expression de $w_n$ en fonction de n
Aide1
$(w_{n})$ est arithmétique de raison 2

Aide2
donc $w_{n}=w_0+nr$ car suite arithmétique de raison 2

Réponse
$w_{n}=-1+2n$
Montrer que pour tout entier naturel n, $u_n=\frac{2n-1}{2^n}$
Aide
Utiliser $w_{n}=\frac{u_n}{v_n}$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ et $w_n$ (par produit en croix !) puis remplacer $v_n$ et $w_n$ par leur expression trouvée en 2.d et 3.d
Démonstration par récurrence
Aide 1
Exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $S_n$ pour montrer l’hérédité

Aide 2
Utiliser $S_{n+1}=S_n+u_{n+1}$

Aide 3
Utiliser $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}$

Aide 4
Utiliser $2^{n+1}=2^n \times 2$ donc mettre les deux fractions sur $2^{n+1}$ puis réduire en une fraction (attention aux signes !)