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Soit la fonction $f$ définie sur R par : $f(x) = (1 - x)\text{e}^x$ .

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé .
Donner les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
En déduire que $latex f $ admet une asymptote $\Delta$ au voisinage de $- \infty$ dont on donnera une équation.
Déterminer $f'(x)$
Donner le tableau des variations de $f$ .
Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ au point A d’abscisse 1 de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et une
équation de la tangente $T_{-1}$ au point B d’abscisse -1.
Expliquer pourquoi l’on peut affirmer que les tangentes $T_{1}$ et $T_{-1}$ sont perpendiculaires.
On se propose d’étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T_{-1}$ .
Pour cela, on considère la fonction $g$ définie sur R par :
$g(x) = (1 - x)\text{e}^x - \left(\dfrac{x + 3}{\text{e}}\right)$
Déterminer $g'(x)$ et $g� »(x)$ où g’ et g » sont les dérivées première et seconde de $g$ .
Étudier le signe de $latex g$ et le sens de variation de $g’$ . Préciser la valeur de $g'(-1)$ .
Étudier le signe de $g’$ et le sens de variation de $g$ . Préciser la valeur de $g(-1)$ .
Enfin donner le signe de $g$ .
Indiquer alors la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la tangente $T_{-1}$ .

DM guidé Suites n°2 (algorithme)

Partie 1
On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
$n$ un entier naturel.
Initialisation :
affecter à $u$ la valeur 1
affecter à $S$ la valeur 1
affecter à $i$ la valeur 0.
Traitement :
tant que $i < n$
affecter à $u$ la valeur $2u + 1 - i$
affecter à $S$ la valeur $S + u$
affecter à $i$ la valeur $i + 1$ .
fin du tant que
Sortie :
afficher $u$
afficher $S$ .

Pour $n = 5$ , quelles sont les valeurs de $u$ et $S$ affichées ?

Partie 2
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
$u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 2u_{n} + 1 - n$ et la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur N par : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$ .

Pour un entier naturel $n$ donné, que représentent les valeurs affichées par l’algorithme de la partie 1 ?
[peekaboo_link name= »aide1″] Vérification [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide1″] Au 3ème passage de la boucle, on obtient u=11et S=21[/peekaboo_content]
Le but de cette question est d’exprimer en fonction de .
- Recopier et compléter le tableau suivant (pour $n$ allant de 0 à 5) :
  [peekaboo_link name= »aide2″]Vérification [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide2″] pour n=3, on a u=11[/peekaboo_content]
- Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau ?
  [peekaboo_link name= »aide3″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide3″] Les termes peuvent s’écrire comme une puissance d’un même nombre [/peekaboo_content]
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n} = 2^n + n$ .
Le but de cette question est de calculer en fonction de et d’utiliser un résultat de la première partie pour contrôler l’exactitude de ce calcul.
- Exprimer en fonction de $n$ les sommes : $1 + 2 +\cdots+ n$ et $1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n$
  [peekaboo_link name= »aide4″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide4″] $1 + 2 +\cdots+ n$ est la somme des termes d’une suite arithmétique
  et $1 + 2 + 2^2 + \cdots+ 2^n$ est la somme des termes d’une suite géométrique [/peekaboo_content]
- En déduire une expression de $S_{n}$ en fonction de $n$ .
  [peekaboo_link name= »aide5″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide5″] Remplacer chaque terme de la somme par son expression puis faire des regroupements pour faire apparaître les sommes précédentes. [/peekaboo_content]
- Vérifier le résultat obtenu dans la première partie pour $n = 5$ .
  [peekaboo_link name= »aide6″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »aide6″] On doit trouver $S_5=78$ comme dans la partie 1 [/peekaboo_content]

Correction : Cliquer ici

DM Suites guidé n°1

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$ , par : $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$

Si $f$ est la fonction définie sur l’intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$ , alors on a, pour tout nombre entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ .

On donne une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d’équation $y = x$ . cpirbe DM suites

a. Sur l’axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1}$ $u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a $u_{n} - 1 > 0.$
[peekaboo_link name= »aide2a »]Aide[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide2a »] Méthode 1 : Réduire $u_{n+1}-1$ au même dénominateur et utiliser $u_{n}-1>0$ pour montrer que $u_{n+1}-1>0$
Méthode 2 : Montrer par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n$ puis utiliser les variations de la fonction $f$ après avoir fait l’étude des variations de $f$ . [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse2a »]Réponse partielle[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse2a »] $u_{n+1}-1=\dfrac{3(u_{n}-1)}{u_{n}+2}$ [/peekaboo_content]
b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
[peekaboo_link name= »aide2b »]Aide pour variation de $(u_{n})$ [/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide2b »] Méthode 1 : Chercher le signe de $u_{n+1}-u_{n}$
Pour cela, réduire au même dénominateur
Astuce : Reconnaître une identité remarquable (sinon chercher le signe d’un trinôme)
Méthode 2 : Montrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant u_{n}$ pour tout $n$ .
On utilisera les variations de la fonction $f$ après avoir fait l’étude des variations de $f$ . [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse2b »]Aide pour limite de $u_{n}$ [/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse2b »]
Partir de l’égalité $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$ puis passer à la limite[/peekaboo_content]
Dans cette question, on se propose d’étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Pour tout nombre entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$ .
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$ .
[peekaboo_link name= »aide1″]Aide 1[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide1″] Montrer que $v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{1}{3}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse1″]Aide 2[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse1″] A partir de l’énoncé, exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ .
Réduire au même dénominateur $v_{n+1}-v_{n}$ .
Simplifier [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse11″]Réponse partielle[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse11″] On obtient $v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+2}{3u_{n}-3}$ [/peekaboo_content]
b. Pour tout nombre entier naturel $n$ , exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
[peekaboo_link name= »aide2″]Aide 1[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide2″] $(v_{n})$ est arithmétique donc $v_{n}=v_{0}+nr$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse2″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse2″] $v_{n}=\dfrac{1}{4} + \dfrac{n}{3}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »aide22″]Aide 2[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »aide22″] A partir de $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}-1}$ exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »réponse22″]Réponse partielle[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »réponse22″] $u_{n}=\dfrac{1}{v_n} +1$ [/peekaboo_content]
c. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .