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Révisions pour la TS

Dérivation

Connaître par coeur :
– les dérivées des fonctions usuelles ( $x^n$ ,      $\dfrac{1}{x}$ ,       $\sqrt{x}$ )
– les formules de dérivation pour : u + v ;      ku ;      uv ;      1/u ;      u/v
Fiche d’exercices  avec solutions
Savoir étudier les variations d’une fonction à partir de la dérivée : Fiche d’exercices avec solutions
Savoir que la tangente au point d’abscisse a à la courbe de f a pour coefficient directeur f'(a)
Exemple 1 : Soient $f(x)=\dfrac{3x + 7}{2x - 2}$ , A (3 ; 4) et B (-1 ; 9)
Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A. En déduire que la tangente est la droite (AB).
Connaître la formule donnant l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a : y = f'(a) (x – a) + f(a)
Exemple 2 : Equation de la tangente au point d’abscisse -2 pour $f(x)=x^3-x$

Suites

Suites définies par une relation de récurrence
– Savoir calculer un terme
– Savoir étudier les variations d’une suite

Exemple 1 : Calculer $U_2$ et $U_3$ pour la suite définie par $U_0=-5$ , $U_1=2$ et $U_{n+2}=U_n-\dfrac{2U_{n+1}}{n+3}$ pour tout $n \geqslant 0$

Exemple 2 : Etudier les variations de la suite définie par $U_n=\dfrac{1}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$
Cas particuliers des suites arithmétiques ou géométriques
– Savoir démontrer qu’une suite est arithmétique : Fiche d’exercices avec solutions
– Savoir démontrer qu’une suite est géométrique : Fiche d’exercices avec solutions
– Savoir exprimer un terme en fonction d’un autre
– Savoir exprimer $U_n$ en fonction de $n$
– Savoir calculer la somme de termes consécutifs

Exemple 3 : Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0=5$ et $U_{n+1}=U_n-6$
a. Calculer $U_{12}$
b. Donner l’expression de $U_n$ en fonction de $n$
c. Calculer la somme $U_0 + U_1 + \dots + U_{12}$

Exemple 4 : Calculer la somme S = 5 + 10 + 15 + …. + 95

Exemple 5 : Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0=2$ et $U_{n+1}=3U_n$
a. Calculer $U_{7}$
b. Donner l’expression de $U_n$ en fonction de $n$
c. Calculer la somme $U_0 + U_1 + \dots + U_{7}$

Étude de signe

Savoir donner le signe :
– de $ax + b$
– d’un trinôme
– d’un produit ou d’un quotient (tableau de signes)
Méthodes : factoriser ou réduire au même dénominateur pour déterminer ensuite le signe
Exemple 1 : Déterminer le signe de $-5x^3+3x^2$ pour $x$ réel.

Exemple 2 : Déterminer le signe de $\dfrac{9x}{x+4}-x$ pour $x \neq -4$ .

Exemple 3 : Déterminer le signe de $\dfrac{1}{x-2}+x$ pour $x \neq 2$ .
Savoir résoudre une inéquation pour déterminer un signe
Exemple : Déterminer le signe de $-3 \sqrt{x} +20$ pour $x$ positif.

Exercice à trous : Orthogonalité dans l’espace

Pour le sujet : Cliquer ici

OABC est un tétraèdre.
Les triangles AOB, AOC et BOC sont rectangles en O.
I est le projeté orthogonal de O sur (BC)
et H celui de O sur (AI).

Question 1 : Montrer que (AI) est une hauteur du triangle ABC.
Première étape : D’après l’énoncé, on a : (OA) orthogonale aux deux droites [peekaboo_link name= »question1″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″](OB) et (OC) [/peekaboo_content]donc (OA) est orthogonale à deux [peekaboo_link name= »question3″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″]droites sécantes [/peekaboo_content] du plan (OBC) donc (OA) est orthogonale au plan [peekaboo_link name= »question4″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″] (OBC) [/peekaboo_content]On en déduit donc que (OA) est [peekaboo_link name= »question5″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]orthogonale [/peekaboo_content] à (BC) car [peekaboo_link name= »question6″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″](OA) est orthogonale au plan (OBC) et donc orthogonale à toute droite de ce plan [/peekaboo_content]

Deuxième étape : D’après l’énoncé, (BC) et (OI) sont [peekaboo_link name= »question7″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question7″]orthogonales (ou perpendiculaires car sécantes) [/peekaboo_content] donc (BC) est orthogonale aux deux droites (OI) et (OA) donc (BC) est orthogonale au plan [peekaboo_link name= »question10″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″](OAI) [/peekaboo_content] car [peekaboo_link name= »question11″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″](BC) est othogonale à (OI) et (OA) qui sont deux droites sécantes du plan (OAI) [/peekaboo_content]

Conclusion : (BC) est orthogonale au plan (OAI) et donc [peekaboo_link name= »question15″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question15″]orthogonale [/peekaboo_content] à toute [peekaboo_link name= »question16″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question16″]droite [/peekaboo_content] de ce plan.
On en déduit donc que [peekaboo_link name= »question17″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question17″](BC) est orthogonale à la droite (AI) ce qui prouve que (AI) est une hauteur du triangle ABC [/peekaboo_content]

Question 2 : Montrer que (OH) est perpendiculaire au plan (ABC).
Pour cela, on va montrer que (OH) est orthogonale à [peekaboo_link name= »question18″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question18″]deux droites sécantes du plan (ABC) [/peekaboo_content]

D’après l’énoncé, la droite (OH) est orthogonale à la droite [peekaboo_link name= »question19″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question19″](AI) [/peekaboo_content]
On a démontré que la droite (BC) était orthogonale au plan (OAI) donc orthogonale à toute [peekaboo_link name= »question22″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question22″]droite de ce plan [/peekaboo_content]et donc (BC) est orthogonale à la droite [peekaboo_link name= »question23″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question23″](OH) [/peekaboo_content]
Conclusion : la droite (OH) est orthogonale à la droite (BC) et à la droite (AI) et donc (OH) est orthogonale au plan (ABC) car [peekaboo_link name= »question27″]…[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question27″](OH) est orthogonale à (BC) et (AI) qui sont deux droites sécantes du plan (ABC) [/peekaboo_content]

DM guidé Nombres complexes 3

Sujet : Cliquer ici

Forme exponentielle
[peekaboo_link name= »question1″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] $\frac{\sqrt{3}}{2} e^{i \frac{\pi}{6}}$ [/peekaboo_content]
a. Preuve suite géométrique
[peekaboo_link name= »question3″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″] $r_{n+1}$ est le module de $z_{n+1}$ puis utiliser la propriété des modules qui consiste à séparer en deux modules quand il y a multiplication[/peekaboo_content]
b. Expression en fonction de n
[peekaboo_link name= »question3b »]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »]Formule classique du cours sur les suites géométriques [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″] $r_n = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$ [/peekaboo_content]
c. Distance $OA_n$
[peekaboo_link name= »question4b »]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »] Traduire cette distance en terme de module[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4c »]Aide 2 [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »]Revoir le cours pour limite de $q^n$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question5″]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]La limite étant égale à 0, que peut-on en déduire pour le point $A_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?[/peekaboo_content]
Algorithme
a. [peekaboo_link name= »question10″]Valeur affichée [/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »question10″]n = 5[/peekaboo_content]
b. Rôle de l’algorithme ?
[peekaboo_link name= »question6″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″]Il affiche le plus petit entier n tel que $r_n \leqslant P$
[/peekaboo_content]
a. Montrer que le triangle est rectangle
[peekaboo_link name= »question12″]Méthode 1 [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question12″]On peut montrer que l’angle $(\overrightarrow{A_{n+1}O}, \overrightarrow{A_{n+1}A_{n}}$ ) est égal à $\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{-\pi}{2}$ en utilisant les arguments[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question13″]Méthode 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question13″] On peut calculer les distances grâce aux modules et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore [/peekaboo_content]
b. Valeurs de n pour lesquelles $A_n$ est un point de l’axe des ordonnées
[peekaboo_link name= »question15″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question15″]Le point appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si $z_n$ a pour argument $\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{-\pi}{2}$ modulo $2\pi$ ce qui peut se traduire par argument égal à $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$ c’est-à-dire $\frac{\pi}{2} + k \pi$ avec $k \in Z$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question16″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question16″]n = 3 + 6k avec k entier naturel car n positif [/peekaboo_content]
c. Construction.
[peekaboo_link name= »question17″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question17″]Remarquer que $A_6$ appartient à l’axe des abscisses et pour les autres points se rappeler que si ABC est rectangle en C alors C appartient au cercle de diamètre [BC]. [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question18″]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question18″]Utiliser les angles déjà construits sur la figure et penser à prolonger des droites[/peekaboo_content]