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Forme algébrique d’un nombre complexe

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Propriétés des arguments d’un nombre complexe

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Exercice : Déterminer un ensemble de points (Complexes – forme algébrique)

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DM Guidé Dérivée et variations – Math’x 1S – n°49 p 119

Montrer que $r^2=36-h^2$
[peekaboo_link name= »question1″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″]On applique le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. Rappel : la sphère a pour rayon 6[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question2″]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″]On prend comme triangle rectangle un carré bleu coupé en diagonale[/peekaboo_content]
Intervalle pour h
[peekaboo_link name= »question3b »]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »][0 ; 6] car la hauteur ne peut pas être supérieure au rayon de la sphère[/peekaboo_content]
a. Volume du cylindre
[peekaboo_link name= »question4″]Rappel : formule[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″]Aire de la base $\times$ hauteur [/peekaboo_content]
b. Dimensions du cylindre de volume maximal
[peekaboo_link name= »question4b »]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »]Il faut donc déterminer les variations de la fonction V [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4c »]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »]Pour calculer la dérivée, on se rappelle que le nombre $\pi$ est une constante[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question5″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″]La dérivée de V donne $-3\pi h^2+36\pi$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question6″]Signe de la dérivée[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″]On reconnaît un trinôme du second degré en $h$ (on peut mettre $3\pi$ en facteur pour simplifier) (trinôme du second degré « incomplet », inutile de calculer le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines) [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question9″]Variations de V[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″]Les racines du trinôme sont $2\sqrt{3}$ et $-2\sqrt{3}$ . La fonction V est croissante de 0 à $2\sqrt{3}$ puis décroissante ensuite donc l’aire est maximale pour $h=2\sqrt{3}$ cm[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question10″]Volume maximal[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″]Calculer $V(2\sqrt{3})$ .[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question11″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″]Le volume maximal vaut $48 \pi \sqrt{3} ~~cm^3$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question12″]Calcul du rayon du cylindre[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question12″]On calcule le rayon $r$ d’après $r^2=36-h^2$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question13″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question13″] $r=2\sqrt{6}$ cm donc les dimensions du cylindre qui donne le volume maximal sont : hauteur $2\sqrt{3}$ cm et rayon $r=2\sqrt{6}$ cm [/peekaboo_content]

DM Guidé Dérivation et variations – Math’x 1S – n°46 p 119

Coordonnées de A et B, points d’intersection de la parabole et de la droite $u_2$
[peekaboo_link name= »question1″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] On résout $x^2=k$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question2″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″] A $(- \sqrt{k} ; k)$ et B $( \sqrt{k} ; k)$ [/peekaboo_content]
a. Calcul de $A_{k}(x)$
[peekaboo_link name= »question3b »]Longueur CC'[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »]L’abscisse de C est $x >0$ et l’abscisse de C’ est $-x$ donc CC’ = $2x$ [/peekaboo_content]
Longueur CM
[peekaboo_link name= »question4″]Coordonnées de M[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″]M appartient à la parabole et l’abscisse de M est $x$ donc M ( $x$ ; $x ^2$ )[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4b »]Réponse longueur CM[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »] $CM = k - x^2$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4c »]Expression de $A_{k}(x)$ [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »] $A_{k}(x)=-2x^3+2kx$ avec $x \in [0 ; \sqrt{k}]$ [/peekaboo_content]
b. Variation de $A_{k}$ sur $[0 ; \sqrt{k}]$
[peekaboo_link name= »question5″]Dérivée[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″] $-6x^2+2k$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question6″]Signe de la dérivée[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″]On cherche le signe de $-6x^2+2k$ (trinôme du second degré « incomplet », on factorise par $x$ pour trouver les racines) [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question8″]variations[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question8″]La fonction est croissante de 0 à $\sqrt{\frac{k}{3}}$ puis décroissante ensuite donc l’aire est maximale pour $x=\sqrt{\frac{k}{3}}$ [/peekaboo_content]
c. [peekaboo_link name= »question9″]Point C associé à l’aire maximale[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″] C a pour coordonnées ( $\sqrt{\frac{k}{3}}$ ; $k$ ) [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question10″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″]Calculer $3x_{C}^2$ . Que constatez-vous ?[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question11″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″] Les coordonnées de C vérifient l’équation $3x^2=y$ donc les points C appartiennent à la parabole d’équation $y=3x^2$ [/peekaboo_content]

DM guidé 1S – Dérivation n°1

Sujet : Cliquer ici

Calcul de la dérivée
[peekaboo_link name= »question1″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] $f'(x)=3x^2-4x+1$ [/peekaboo_content]
Recherche des tangentes horizontales
[peekaboo_link name= »question2″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″] La tangente à la courbe de f au point d’abscisse x a pour coefficient directeur f'(x)[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question3″]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″]Une droite est horizontale si seulement si son coefficient directeur est nul[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question5″]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″] On trouve $x=1$ et $x=\frac{1}{3}$ donc il y a deux points où la tangente est horizontale[/peekaboo_content]
a. Equation de la tangente au point A d’abscisse 0
[peekaboo_link name= »question6″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″] $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question8″]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question8″] L’équation de la tangente est $y=x+1$ [/peekaboo_content]
b. Position de la tangente par rapport à la courbe de f
[peekaboo_link name= »question9″]Aide1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″]Si $f(x) > g(x)$ sur un intervalle alors la courbe de f est au-dessus de la courbe de g sur cet intervalle[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question10″]Aide2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″] Chercher le signe de $f(x)-g(x)$ c’est-à-dire de $f(x)-(x+1)$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question11″]Aide 3[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″] $f(x)-(x+1)=x^3-2x^2$ . Factoriser $x^2$ pour trouver le signe [/peekaboo_content]
Montrer qu’il existe une unique tangente parallèle à la droite $\Delta$ ,
[peekaboo_link name= »question12″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question12″] Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question13″]Aide 2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question13″] Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $x$ est $f'(x)$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question14″]Aide 3 [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question14″] On résout $f'(x)=\frac{-1}{3}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question15″]Aide 4[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question15″]On doit donc résoudre $3x^2-4x+\frac{4}{3}=0$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question16″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question16″]Cette équation n’a qu’une solution et donc il existe une seule tangente parallèle à la droite $\Delta$ [/peekaboo_content]

DM Guidé Suites n°3

Sujet : Cliquer ici

Correction : Cliquer ici

Calcul de $u_2$
[peekaboo_link name= »question1″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] $u_2=\frac{3}{4}$ [/peekaboo_content]
En déduire que la suite n’est pas arithmétique
[peekaboo_link name= »question2″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″]A partir des trois termes $u_0, u_1, u_2$ , on peut démontrer qu’elle n’est pas arithmétique car $u_2-u_1 \neq u_1-u_0$ . Par contre, il ne suffit pas de regarder trois termes pour démontrer qu’elle est arithmétique ![/peekaboo_content]
En déduire que la suite n’est pas géométrique
[peekaboo_link name= »question3″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″] Même remarque que précédemment avec ici $\frac{u_2}{u_1} \neq \frac{u_1}{u_0}$ [/peekaboo_content]
a. Calcul de $v_0$
[peekaboo_link name= »question3b »]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3b »] $v_0=1$ [/peekaboo_content]
b. Expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$
[peekaboo_link name= »question4″]Aide [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″] $v_{n+1}=u_{n+2}-\frac{1}{2}u_{n+1}$ [/peekaboo_content]
c. En déduire que la suite $(v_n)$ est géométrique
[peekaboo_link name= »question4b »]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »] Le calcul précédent nous a donné $v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n$ donc suite géométrique de raison 1/2[/peekaboo_content]
d. Expression de $v_n$ en fonction de n
[peekaboo_link name= »question4c »]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »] $v_n=v_0 \times q^n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ [/peekaboo_content]
a. Calcul de $w_0$
[peekaboo_link name= »question5″]Réponse [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question5″] $w_{0}=-1$ [/peekaboo_content]
b. Expression de $w_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$
[peekaboo_link name= »question6″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question6″] $w_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$ avec $u_{n+1}=v_n+\frac{1}{2}u_n$ (d’après l’énoncé) et $v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n$ [/peekaboo_content]
c. En déduire que $w_{n+1}=w_n+2$
[peekaboo_link name= »question8″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question8″] On peut utiliser $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$ pour montrer que $w_{n+1}=w_n+2$ [/peekaboo_content]
d. Expression de $w_n$ en fonction de n
[peekaboo_link name= »question9″]Aide1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question9″] $(w_{n})$ est arithmétique de raison 2[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question10″]Aide2[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question10″] donc $w_{n}=w_0+nr$ car suite arithmétique de raison 2[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question11″]Réponse[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question11″] $w_{n}=-1+2n$ [/peekaboo_content]
Montrer que pour tout entier naturel n, $u_n=\frac{2n-1}{2^n}$
[peekaboo_link name= »question12″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question12″] Utiliser $w_{n}=\frac{u_n}{v_n}$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ et $w_n$ (par produit en croix !) puis remplacer $v_n$ et $w_n$ par leur expression trouvée en 2.d et 3.d[/peekaboo_content]
Démonstration par récurrence
[peekaboo_link name= »question13″]Aide 1[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question13″] Exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $S_n$ pour montrer l’hérédité [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question14″]Aide 2 [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question14″] Utiliser $S_{n+1}=S_n+u_{n+1}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question15″]Aide 3[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question15″] Utiliser $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question16″]Aide 4[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question16″] Utiliser $2^{n+1}=2^n \times 2$ donc mettre les deux fractions sur $2^{n+1}$ puis réduire en une fraction (attention aux signes !) [/peekaboo_content]

DM Guidé Fonction exponentielle n°3 – Lecture graphique – Primitive

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Correction en fin de page

1. Signe de f'(x)
[peekaboo_link name= »Aide1″]Aide[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »Aide1″] Les variations de la fonction donnent le signe de la dérivée[/peekaboo_content]
2. a. Courbe de f’ et courbe de F ?
[peekaboo_link name= »Aide2″]Réponse courbe de f'[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »Aide2″]D’après le tableau de variations de f, f’ est positive puis négative donc la courbe de f’ est C2[/peekaboo_content]
b. Aide pour a :
[peekaboo_link name= »Aide3″]Aide 1[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide3″]f admet un maximum en a donc f'(a)=0[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide4″]Aide 2[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide4″]Regarder où la courbe de f’, (C2) coupe l’axe des abscisses[/peekaboo_content]
b. Aide pour b :
[peekaboo_link name= »Aide5″]Aide 1[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide5″]Utiliser F’ et se rappeler que F'(x) = f(x). Une valeur de f(x) est connue dans le tableau. Laquelle ?[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide6″]Aide 2[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide6″]On a f(a) = b, donc F'(a) = b. Que représente F'(a) pour la courbe de F’ (C1) ?[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide7′]Aide 3[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide7″]F'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de F, (C1) au point d’abscisse a. Quel est le signe de ce coefficient directeur d’après la courbe ?[/peekaboo_content]
3. Information donnée par le point A ?
[peekaboo_link name= »Aide8″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide8″]A(0,2) appartient à la courbe de F donc F(0) = 2[/peekaboo_content]
Information donnée par le point B ?
[peekaboo_link name= »Aide9″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide9″]B(0,1/2) appartient à la courbe de f’ donc f'(0) = 1/2[/peekaboo_content]
Aide pour f'(x) :
[peekaboo_link name= »Aide10″]Aide[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide10″]Calculer f'(x) puis trouver k sachant que f'(0) = 1/2[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide11″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide11″]k = -1[/peekaboo_content]
Aide pour F(x) : (primitive de f)
[peekaboo_link name= »Aide12″]Aide[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide12″]Une primitive de $- e^{\frac{1}{2}x}$ est $-2 e^{\frac{1}{2}x}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide13″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide13″] $F(x)=-2 e^{\frac{1}{2}x} + \dfrac{x^2}{2}+2x$ [/peekaboo_content]
Pour trouver a :
[peekaboo_link name= »Aide14″]Aide[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide14″]Résoudre f'(x) = 0[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide15″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide15″]a = 2 ln2[/peekaboo_content]
Pour trouver b :
[peekaboo_link name= »Aide16″]Aide[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide16″]Rappel : b = f(a)[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »Aide17″]Réponse[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »Aide17″]b= f(2 ln2) = 2 ln2[/peekaboo_content]

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Nombre de solutions à un système de 2 inconnues

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DM guidé – Fonction exponentielle n°1

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Correction : Cliquer ici

[peekaboo_link name= »question1″]Aide pour limite en – $\infty$ [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question1″] Développer $f(x)$ pour lever l’indétermination[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question2″]Réponse pour dérivée de f[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question2″] $f'(x)=-xe^x$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question3″]Réponse pour équations des tangentes[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question3″] $y = - ex + e$
$y=\dfrac{x}{e}+\dfrac{3}{e}$ [/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question3b »]Méthode pour montrer que les tangentes sont perpendiculaires[/peekaboo_link]
[peekaboo_content name= »question3b »]A partir du coefficient directeur d’une tangente, trouver un vecteur directeur puis montrer que les vecteurs directeurs sont orthogonaux à l’aide du produit scalaire [/peekaboo_content]
En quoi l’étude de g(x) nous indique la position de la tangente par rapport à la courbe de f ?
[peekaboo_link name= »question4″]Réponse pour dérivée seconde de g [/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4″] La dérivée seconde est $-e^x-xe^x$
[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4b »]Aide pour trouver le signe de la dérivée seconde[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4b »] Factoriser pour trouver le signe[/peekaboo_content]
[peekaboo_link name= »question4c »]Réponse pour variation de g[/peekaboo_link][peekaboo_content name= »question4c »] g est décroissante[/peekaboo_content]